2023年普通高等学校招生全国统一考试·临门一卷(二)数学考试试题及答案

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2023年普通高等学校招生全国统一考试·临门一卷(二)数学考试试卷答案

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7．在极坐标系中，直线l的方程为ρcos（θ$+\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系（两坐标系取相同的长度单位），曲线C：x²+y²=4在坐标伸缩变换ρ：$\left\{\begin{array}{l}{x′=x}\\{y′=\frac{y}{2}}\end{array}\right.$，作用下变为曲线C₁．
（1）求直线l的倾斜角α和曲线C₁的方程；
（2）判断直线l和曲线C₁是否相交．若相交，求出弦长；若不相交，说明理由．

分析首先，结合二阶整数点函数的概念，对所给的函数进行逐个验证即可．

解答解：对于函数y=x³，当x∈Z时，一定有y=x³∈Z，即函数y=x³通过无数个整点，它不是二阶整点函数；
对于函数y=（$\frac{1}{3}$）^x；，当x=0，-1，-2，时，y都是整数，故函数y通过无数个整点，它不是二阶整点函数；
③y=$\frac{2-x}{x-1}$=-1+$\frac{1}{x-1}$，当x=0，2，时，y都是整数，它是二阶整点函数；
④y=ln|x|，当x=-1，1时，y都是整数，
它是二阶整点函数；
故只有③④是二阶整数点函数，
故选B．

点评本题重点考查了函数的基本性质、二阶整数点的概念及信息的理解与处理能力，属于中档题．