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金考卷·2023年普通高招全国统一考试临考预测押题密卷(全国卷)数学考试试卷答案
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3．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，（a＞b＞0），A1，A2是双曲线实轴的两个端点，MN是垂直于实轴所在直线的弦的两个端点，则A1M与A2N交点的轨迹方程是（ ）
| A． | $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1 | B． | $\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1 | C． | $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1 | D． | $\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1 |
分析构造函数f（x）=logax-x-2，从而转化为函数的零点的判断即可．
解答解：令f（x）=logax-x-2，
易知f（x）=logax-x-2在其定义域上连续单调递减，
f（a3）=3-a3-2=1-a3＞0，
f（1）=0-1-2=-3＜0，
故f（a3）f（1）＜0，
故方程logax=x+2（0＜a＜1）的解的个数为1，
故选B．
点评本题考查了函数的零点与方程的根的关系应用．
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