[福州四检]2023年5月福州市普通高中毕业班质量检测数学考试试题及答案

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[福州四检]2023年5月福州市普通高中毕业班质量检测数学考试试卷答案

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12．在数列{a_n}，若a${\;}_{n}^{2}$-a${\;}_{n-1}^{2}$=k（n≥2，n∈N^*，k为常数），则称{a_n}为等方差数列．
（1）若数列{b_n}是等方差数列，b₁=1，b₂=3，写出所有满足条件的数列{b_n}的前4项；
（2）若等方差数列{a_n}满足a₁=2，a₂=2$\sqrt{2}$，a_n＞0，设数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n项和为T_n，是否存在正整数p，q，使不等式T_n＞$\sqrt{pn+q}$-1对一切n∈N^*都成立？若存在，求出p，q的值；若不存在，说明理由．

分析根据分段函数分段处理的原则，分别求出两段函数函数的反函数，再化为分段函数的形式，可得答案．

解答解：当x≥1时，f（x）=3^x+1≥4，
此时f^-1（x）=log₃（x-1），x≥4，
当x＜1时，f（x）=$\frac{x-4}{x-2}$∈（1，3），
此时f^-1（x）=$\frac{2x-4}{x-1}$，1＜x＜3，
综上所述，f^-1（x）=$\left\{\begin{array}{l}\frac{2x-4}{x-1}，1＜x＜3\\{log}_{3}（x-1），x≥4\end{array}\right.$，
故答案为：$\left\{\begin{array}{l}\frac{2x-4}{x-1}，1＜x＜3\\{log}_{3}（x-1），x≥4\end{array}\right.$

点评本题考查的知识点是分段函数的应用，反函数，熟练掌握反函数的求解过程与要点，是解答的关键．