2024届衡水金卷先享题压轴卷二数学免费

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【题目】设椭圆的右焦点为，右顶点为，已知，其中为原点，为椭圆的离心率.

（1）求椭圆的方程；

（2）设过点的直线与椭圆交于点（不在轴上），垂直于的直线与交于点，与轴交于点，若，且，求直线的斜率的取值范围.

【答案】(1) 椭圆方程为;(2) 直线l的斜率的取值范围为.

【解析】试题分析：（Ⅰ）求椭圆标准方程，只需确a的值，由，得，再利用，可解得a的值；（Ⅱ）先化简条件： ，即M再OA的中垂线上，，再利用直线与椭圆位置关系，联立方程组求；利用两直线方程组求H，最后根据，列等量关系即可求出直线斜率的取值范围.

试题解析：（Ⅰ）解：设，由，即，可得，又，所以，因此，所以椭圆的方程为.

（Ⅱ）解：设直线的斜率为（），则直线的方程为.

设，由方程组，消去，整理得.

解得，或，由题意得，从而.

由（Ⅰ）知，，设，有 ，.

由，得，所以，解得.

因此直线的方程为.

设，由方程组消去，解得.

在中，，即，

化简得，即，解得或.

所以，直线的斜率的取值范围为.