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长郡、雅礼、一中、附中联合编审名校卷2023届高三月考试卷九(全国卷)数学考试试题及答案

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试题答案

长郡、雅礼、一中、附中联合编审名校卷2023届高三月考试卷九(全国卷)数学考试试卷答案

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1.已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,左右顶点分别为A1,A2,过F1作斜率不为0的直线l与椭圆交于A,B两点,△ABF2的周长为8.椭圆上一点P与A1,A2连线的斜率之积${k_{P{A_1}}}•{k_{P{A_2}}}=-\frac{1}{4}$(点P不是左右顶点A1,A2).
(Ⅰ)求该椭圆方程;
(Ⅱ)已知定点M(0,m)(其中常数m>0),求椭圆上动点N与M点距离的最大值.

分析(1)由已知利用等差数前n项和、通项公式能求出首项和公差,由此能求出数列{an}的通项公式;由${b_1}{b_2}…{b_n}={({\sqrt{3}})^{S_n}}$,得${b_1}{b_2}{b_3}…{b_{n-1}}={({\sqrt{3}})^{{S_{n-1}}}}$,两式相除能求出数列{bn}的通项公式.
(2)由已知条件根据n为奇数和n为偶数两种情况分类讨论,能求出实数λ的取值范围.

解答解:(1)∵等差数列{an}的前n项和为Sn,S5=25,
∴S5=5a3=25,故a3=5,
又a2=3,则d=a3-a2=5-3=2,故an=2n-1,
∵正项数列{bn}满足${b_1}{b_2}…{b_n}={({\sqrt{3}})^{S_n}}$,
∴${b_1}{b_2}{b_3}…{b_{n-1}}={({\sqrt{3}})^{{S_{n-1}}}}$,n≥2
两式相除得${b_n}={({\sqrt{3}})^{2n-1}}({n≥2})$,
又${b_1}={({\sqrt{3}})^{S_1}}={({\sqrt{3}})^1}$满足上式,
故${b_n}={({\sqrt{3}})^{2n-1}}({n≥1})$
(2)${({-1})^n}λ<2+\frac{{{{({-1})}^{n+1}}}}{a_n}$,即(-1)nλ<2+$\frac{(-1)^{n+1}}{2n-1}$对一切正整数n均成立,
①n为奇数时,$λ>-2-\frac{1}{2n-1}$恒成立,则λ≥-2
②n为偶数时,$λ<2-\frac{1}{2n-1}$恒成立,则$λ<\frac{5}{3}$
综上$-2≤λ<\frac{5}{3}$.

点评本题考查数列的通项公式的求法,考查实数的取值范围的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意等差数列的性质和分类讨论思想的合理运用.

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