2023年高考临门·名师解密卷(★★★)数学考试试题及答案

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2023年高考临门·名师解密卷(★★★)数学考试试卷答案

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9．以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=t+1}\\{y=t-2}\end{array}\right.$（t为参数），圆C的极坐标方程是ρ=4cosθ．
（1）求直线l和圆C的普通方程，
（2）求直线l被圆C截得的弦长．

分析（1）将已知等式通分后利用两角和的正弦函数公式整理，利用正弦定理可得：ab=c²，结合已知c=2，即可求值．
（2）由已知及三角形面积公式可解得：sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，结合C为锐角，可得cosC，利用余弦定理即可得解．

解答解：（1）∵$\frac{cosA}{sinA}$+$\frac{cosB}{sinB}$=$\frac{1}{sinC}$，
∴$\frac{cosAsinB+cosBsinA}{sinAsinB}$=$\frac{sin（A+B）}{sinAsinB}$=$\frac{sinC}{sinAsinB}$=$\frac{1}{sinC}$，
∴整理可得：sinAsinB=sin²C，
∴由正弦定理可得：ab=c²，
∵c=2．
∴ab=4．
（2）∵△ABC的面积S=$\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}×4×$sinC，解得：sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴由C为锐角，可得cosC=$\sqrt{1-si{n}^{2}C}$=$\frac{1}{2}$．
∴由余弦定理可得：4=a²+b²-2×ab×$\frac{1}{2}$，解得：a²+b²=8．

点评本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，三角形面积公式的应用，考查了转化思想，属于中档题．