2023届衡水金卷先享题压轴卷答案 新教材二数学考试试题及答案

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2023届衡水金卷先享题压轴卷答案 新教材二数学考试试卷答案

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20．已知函数f（x）=ax²-x+2a-1（a＞0）．
（1）若f（x）在区间[1，2]为单调增函数，求a的取值范围；
（2）设函数f（x）在区间[1，2]上的最小值为g（a），求g（a）的表达式；
（3）设函数$h（x）={（\frac{1}{2}）^x}+{log_2}\frac{1}{x+1}$，若对任意x₁，x₂∈[1，2]，不等式f（x₁）≥h（x₂）恒成立，求实数a的取值范围．

分析问题可化为y=-t²+t+2（0≤t≤1）的最值，由二次函数区间的最值可得．

解答解：由题意可得y=1-cos²x+cosx+1=-cos²x+cosx+2，
∵$x∈[-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}]$，∴0≤cosx≤1，
设t=cosx，则y=-t²+t+2（0≤t≤1）
∵关于t的二次函数开口向下，对称轴$t=-\frac{1}{2×（-1）}=\frac{1}{2}$，
∴函数y=-t²+t+2在$[0，\frac{1}{2}]$上为增函数，在$（\frac{1}{2}，1]$上为减函数，
∴当$t=\frac{1}{2}$时，${y_{max}}=-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+2=2+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}$，
此时$cosx=\frac{1}{2}$，$x=\frac{π}{3}$或$-\frac{π}{3}$，集合为$\left\{{\frac{π}{3}，-\frac{π}{3}}\right\}$；
当t=1或t=0时，y_min=2，时cosx=0或cosx=1
此时$x=\frac{π}{2}$或$-\frac{π}{2}$或x=0，集合为$\left\{{\frac{π}{2}，-\frac{π}{2}，0}\right\}$

点评本题考查三角函数的最值，换元并转化为二次函数区间的最值是解决问题的关键，属中档题．