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2024年衡水金卷先享题压轴卷广东历史3、
【题目】数列 满足 ,且 .
(1)写出 的前3项,并猜想其通项公式;
(2)用数学归纳法证明你的猜想.
【答案】
(1)解: ,猜想 ;(2)①验证 时成立; ②假设 时,猜想成立,即有 ,由 ,,及 ,证得 时成立,故命题成立.
(2)解:①当 时, 成立;
②假设 时,猜想成立,即有 ,
由 ,,及 ,
得 ,即当 时猜想成立,
由①②可知, 对一切正整数 均成立.
【解析】(1)将n=1,n=2分别代入递推关系式中即可求出a2,a3,通过观察前3项的规律可发现数列{an}是一个等差数列,根据等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d即可写出an并验证;(2)验证当n=1时猜想成立,假设当n=k时猜想成立,证明当n=k+1时猜想成立.
【考点精析】关于本题考查的数列的通项公式,需要了解如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就叫这个数列的通项公式才能得出正确答案.
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