2024届衡水金卷先享题压轴卷 新高考(二) 数学答案

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2024年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题政治二衡水金卷先享题压轴卷3、

【题目】已知函数 （ ）
（1）求函数 的单调增区间；
（2）若函数 在 上的最小值为 ，求 的值.

【答案】
（1）解：由题意， 的定义域为 ，且 .

当 时， ，∴ 的单调增区间为 .

当 时，令 ，得 ，∴ 的单调增区间为 .

（2）解：由（1）可知， .

若 ，则 ，即 在 上恒成立， 在 上为增函数，

∴ ，∴ （舍去）.

若 ，则 ，即 在 上恒成立， 在 上为减函数，

∴ ，∴ （舍去）.

若 ，当 时， ，∴ 在 上为减函数，

当 时， ，所以 上为增函数，

∴ ，∴

综上所述， .

【解析】（1）先求函数f（x）的定义域，再求f（x），对参数a进行分类讨论，由f（x）0得到函数f（x）的单调增区间；（2）由（1）可知f（x），对参数a进行分类讨论，由f（x）0（f（x）0）得到函数f（x）的单调增（减）区间，确定函数f（x）的最小值，从而得到参数a的值.
【考点精析】利用利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数对题目进行判断即可得到答案，需要熟知一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．