2023考前信息卷·第七辑 重点中学、教育强区 考前猜题信息卷(一)数学考试试题及答案

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2023考前信息卷·第七辑 重点中学、教育强区 考前猜题信息卷(一)数学考试试卷答案

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8．在平面直角坐标系中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线L：ρcosθ-$\sqrt{3}$ρsinθ+1=0，曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=5+cosα\\ y=sinα\end{array}\right.$（α为参数）．
（Ⅰ）求直线L和曲线C的普通方程；
（Ⅱ）在曲线C上求一点Q，使得Q到直线L的距离最小，并求出这个最小值．

分析先确定f（x）的奇偶性，单调性，将原不等式转化为解不等式：log₂（x-1）+（x-2）＜0，再构造函数得出解集．

解答解：先判断f（x）的奇偶性，f（-x）=$\frac{{2}^{-x}-1}{{2}^{-x}+1}$=$\frac{{1-2}^{x}}{1+{2}^{x}}$=-f（x），即f（x）为R上的奇函数，
再判断f（x）的单调性，f（x）=$\frac{2^x-1}{2^x+1}$=1-$\frac{2}{2^x+1}$，即f（x）为R上的单调递增函数，
因此，不等式f（$lo{g}_{\frac{1}{2}}$（x-1））+f（2-x）＞0可化为：
f[$lo{g}_{\frac{1}{2}}$（x-1）]＞f（x-2），所以，$lo{g}_{\frac{1}{2}}$（x-1）＞x-2，
即log₂（x-1）+（x-2）＜0，——————–①
构造函数，F（x）=log₂（x-1）+（x-2），
该函数在定义域（1，+∞）上单调递增，且F（2）=0，
因此，当1＜x＜2时，F（x）＜0，
所以，不等式①的解集为（1，2），
故答案为：D．

点评本题主要考查了函数奇偶性和单调性的综合应用，涉及奇偶性和单调性的判断和证明，并通过构造函数运用单调性解不等式，属于中档题．