衡水金卷先享题压轴卷2023答案 新高考一数学考试试题及答案

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衡水金卷先享题压轴卷2023答案 新高考一数学考试试卷答案

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5．设向量$\overrightarrow{a}$=（1+cosα，sinα），$\overrightarrow{b}$=（1-cosβ，sinβ），$\overrightarrow{c}$=（1，0），其中α∈（0，π），β（π，2π）．
（1）求证：|$\overrightarrow{a}$|=2cos$\frac{α}{2}$，|$\overrightarrow{b}$|=2sin$\frac{β}{2}$；
（2）若$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{c}$的夹角是θ₁，$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{c}$的夹角是θ₂，且θ₁-θ₂=$\frac{π}{6}$，求sin$\frac{α-β}{4}$的值．

分析作出图形，逐项分析，

解答解：对于A，连接AC，则AC⊥BD，A₁C₁∥AC，∴A₁C₁⊥BD，故A正确；
对于B，∵D₁C₁∥DC，DC∥AB，∴D₁C₁∥AB，故B正确；
对于C，∵BC⊥平面A₁ABB₁，A₁B?平面A₁ABB₁，∴BC⊥A₁B，
∵AB⊥BC，平面A₁BC∩平面BCD=BC，A₁B?平面A₁BC，AB?平面BCD，
∴∠ABA₁是二面角A₁-BC-D的平面角，
∵△A₁AB是等腰直角三角形，∴∠ABA₁=45°，故C正确；
对于D，∵C₁C⊥平面ABCD，AC₁∩平面ABCD=A，
∴∠C₁AC是AC₁与平面ABCD所成的角，∵AC≠C₁C，∴∠C₁AC≠45°，故D错误．
故选D．

点评本题考查了线面的空间位置关系及空间角，做出图形分析是关键．