2024年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理科数学（一）衡水金卷先享题压轴卷

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【题目】已知，.

（1）若，求使得成立的的集合；

（2）当时，函数只有一个零点，求的取值范围.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】试题分析：（1）由已知，根据向量数量积计算公式进行运算，再根据两角和的正弦公式进行化简，可得到函数的解析式，再根据正弦函数的单调性进行求解，从而问题可得解；（2）由（1）知函数的解析式，将问题转化为函数与轴只有一个交点时，求参数的取值范围，结合数形法，以及函数在给定区间上的值域，从而问题可得解.

试题解析：（Ⅰ）

因为，所以，故，

解得，

又，所以，令，解得

即使得成立的的集合为

（Ⅱ）函数在只有一个零点，即方程在只有一个根，即函数的图像与直线在上只有一个交点。

作出函数在的图像可知，，

所以，或 …

解得或，或

即的取值范围为 .