河南省洛阳市2023年义务教育质量监测（八年级）数学考试试题及答案

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河南省洛阳市2023年义务教育质量监测（八年级）数学考试试卷答案

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9．（理） 已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n=$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$，若S_n＜t对任意n∈N^*都成立，则t的取值范围为$t≥\frac{1}{2}$．

分析先化切为弦，再分式的分子、分母同时乘以cos70°，把原式等价转化为$\frac{\sqrt{3}sin70°+cos70°}{cos140°（2sin70°cos70°）}$，再利用三角函数恒等式、二倍角公式、诱导公式能求出结果．

解答解：$\frac{\sqrt{3}tan70°+1}{（4co{s}^{2}70°-2）sin70°}$
=$\frac{\sqrt{3}•\frac{sin70°}{cos70°}+1}{2cos140°sin70°}$
=$\frac{\sqrt{3}sin70°+cos70°}{cos140°（2sin70°cos70°）}$
=$\frac{2sin（70°+30°）}{cos140°sin140°}$
=$\frac{2sin100°}{\frac{1}{2}sin280°}$
=$\frac{2sin100°}{-\frac{1}{2}sin100°}$
=-4．

点评本题考查三角函数值的求法，是中档题，解题时要注意化切为弦、三角函数恒等式、二倍角公式、诱导公式的合理运用．