2023年三好网985核心密卷(三)数学考试试题及答案

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2023年三好网985核心密卷(三)数学考试试卷答案

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3．极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知曲线C₁的极坐标方程为ρ=2$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$），曲线C₂的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+tcosα}\\{y=3+tsinα}\end{array}\right.$，t为参数，0≤α＜π；射线θ=φ，θ=φ+$\frac{π}{4}$，θ=φ-$\frac{π}{4}$，θ=φ+$\frac{π}{2}$与曲线C₁分别交异于极点O的四点A，B，C，D．
（1）若曲线C₁关于曲线C₂对称，求α的值，并把曲线C₁和C₂化成直角坐标方程；
（2）求|OA|•|OC|+|OB|•|OD|的值．

分析由$\frac{2sinα+cosα}{2cosα-sinα}$=2，化弦为切求得tanα的值，然后分α的象限求得sinα+cosα的值；再把2sinαcosα+cos²α-2化切后得答案．

解答解：由$\frac{2sinα+cosα}{2cosα-sinα}$=2，得$\frac{2tanα+1}{2-tanα}=2$，解得：tan$α=\frac{3}{4}$．
若α是第一象限角，则cosα=$\frac{1}{secα}=\frac{1}{\sqrt{1+ta{n}^{2}α}}$=$\frac{1}{\sqrt{1+（\frac{3}{4}）^{2}}}=\frac{4}{5}$，
sin$α=\sqrt{1-co{s}^{2}α}=\sqrt{1-（\frac{4}{5}）^{2}}=\frac{3}{5}$．
∴sinα+cosα=$\frac{3}{5}+\frac{4}{5}=\frac{7}{5}$；
若α是第三象限角，则cosα=$-\frac{4}{5}$，sin$α=-\frac{3}{5}$，sinα+cosα=-$\frac{7}{5}$；
2sinαcosα+cos²α-2=2sinαcosα+cos²α-2sin²α-2cos²α
=2sinαcosα-2sin²α-cos²α=$\frac{2sinαcosα-2si{n}^{2}α-co{s}^{2}α}{si{n}^{2}α+co{s}^{2}α}$
=$\frac{2tanα-2ta{n}^{2}α-1}{ta{n}^{2}α+1}$=$\frac{2×\frac{3}{4}-2×（\frac{3}{4}）^{2}-1}{（\frac{3}{4}）^{2}+1}$=$-\frac{2}{5}$．

点评本题考查三角函数的化简与求值，考查了同角三角函数基本关系式的应用，是基础的计算题．