河北省2024-2023学年度第二学期高二年级4月份月考(232549Z)数学考试试题及答案

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河北省2022-2023学年度第二学期高二年级4月份月考(232549Z)数学考试试卷答案

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7．抛物线x²=2py，（p＞0）在x=1处的切线方程为2x-2y-1=0，则抛物线的准线为（　　）

分析（1）运用数量积的坐标计算公式，辅助角公式化简函数式，再求最小正周期和单调区间；
（2）根据自变量的范围得出函数的最值，求出a，再结合函数图象求k的范围．

解答解：（1）f（x）=2cos²x+sin2x+a
=cos2x+sin2x+a+1=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+a+1，
该函数的最小正周期为：π，
令2x+$\frac{π}{4}$∈[2kπ-$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{π}{2}$]，解得x∈[kπ-$\frac{3π}{8}$，kπ+$\frac{π}{8}$]；
所以，f（x）的单调增区间为[kπ-$\frac{3π}{8}$，kπ+$\frac{π}{8}$]（k∈Z）；
（2）当x∈[0，$\frac{3π}{8}$]时，2x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，π]，
此时，sin（2x+$\frac{π}{4}$）∈[0，1]，
所以，f（x）_max=$\sqrt{2}$+a+1=$\sqrt{2}$，解得a=-1，
因此，f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），
要使f（x）=k在x∈[0，$\frac{3π}{8}$]内恰有两解，
结合正弦函数图象知，k∈[f（0），f（$\frac{π}{8}$）），即k∈[1，$\sqrt{2}$），
故实数k的取值范围为[1，$\sqrt{2}$）．

点评本题主要考查了向量的数量积，三角函数恒等变换，三角函数的图象与性质，以及运用函数图象解决根的个数问题，属于中档题．