河南省2023届高三青桐鸣大联考（3月）数学考试试题及答案

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河南省2023届高三青桐鸣大联考（3月）数学考试试卷答案

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3．若非零向量$\vec a$与向量$\vec b$的夹角为钝角，$|{\vec b}|=2$，且当$t=-\frac{1}{2}$时，$|{\vec b-t\vec a}|$（t∈R）取最小值$\sqrt{3}$．向量$\vec c$满足$（{\vec c-\vec b}）⊥（{\vec c-\vec a}）$，则当$\vec c•（{\vec a+\vec b}）$取最大值时，$|{\vec c-\vec b}|$等于（　　）

分析令f（x）=|2x+1|-|x-4|，然后将f（x）化成分段函数，则m的最大值为f（x）的最小值．

解答解：令f（x）=|2x+1|-|x-4|，
当x≤-$\frac{1}{2}$时，f（x）=-2x-1+x-4=-x-5，
当-$\frac{1}{2}$＜x＜4时，f（x）=2x+1+x-4=3x-3，
当x≥4时，f（x）=2x+1-x+4=x+5，
∴f（x）在（-∞，-$\frac{1}{2}$]上是减函数，在（-$\frac{1}{2}$，4）上是增函数，在[4，+∞）上是增函数，
∴f_min（x）=f（-$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$-5=-$\frac{9}{2}$．
∵|2x+1|-|x-4|≥m恒成立，即m≤f（x）恒成立，
∴m≤f_min（x），即m≤-$\frac{9}{2}$．
故选C．

点评本题考查了绝对值在分段函数中的应用，正确去掉绝对值符号是关键．