广西国品文化2023年高考桂柳信息冲刺金卷(四)4数学考试试题及答案

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广西国品文化2023年高考桂柳信息冲刺金卷(四)4数学考试试卷答案

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10．定义：对于函数f（x），若在定义域内存在实数x，满足f（-x）=-f（x），则称f（x）为“局部奇函数”．
（1）已知二次函数f（x）=ax²+2x-4a（a∈R），试判断f（x）是否为定义域R上的“局部奇函数”？若是，求出满足f（-x）=-f（x）的x的值；若不是，请说明理由；
（2）若f（x）=2^x+m是定义在区间[-1，1]上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围．

分析利用向量的线性运算、向量共线定理即可得出．

解答解：（1）∵$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BC}$+$\overline{CD}$=$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$+2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{a}$+7$\overrightarrow{b}$=4（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$）=4$\overrightarrow{AB}$，
∴A，B，D三点共线，
∵$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$+2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$=3$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$≠λ$\overrightarrow{AB}$，λ为常数，
∴A，B，C三点不共线，
∴A，B，C，D四个点不能在一条直线上；
（2）由（1）知A，B，D三点共线，A，B，C三点不共线，
∵$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{BC}$+$\overline{CD}$=2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{a}$+7$\overrightarrow{b}$=3$\overrightarrow{a}$+6$\overrightarrow{b}$≠λ$\overrightarrow{BC}$，
∴B，C，D三点不共线，
故$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$为非零向量．

点评本题考查了向量的线性运算、向量共线定理，属于基础题．