2023常德市二模高三3月联考数学考试试题及答案

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2023常德市二模高三3月联考数学考试试卷答案

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14．在日常生活中，为了尽快将水烧开，我们常常在烧水时将煤气开关拨到最大位置（旋转90°），很少考虑开关旋转几度最省煤气的问题，以下是某次试验中，将开关拨到不同位置时，分别烧开等量水的煤气消耗量．

开关旋转角度x（°）	18°	36°	54°	72°	90°
煤气用量y（立方米）	0.130	0.122	0.139	0.149	0.172

（1）根据以上数据，建立煤气用量y关于开关旋转角度x的函数模型；
（2）在本实验中，开关旋转角度为多少时，煤气用量最少？

分析（1）根据$\overrightarrow{p}$•$\overrightarrow{q}$=2b列出方程进行整理化简得出a，b，c的关系使用余弦定理解出A．
（2）利用正弦定理化边为角，可得l=1+$\frac{2}{\sqrt{3}}$（sinB+sinC），然后利用诱导公式将sinC转化为sin（A+B），进而由两角和与差的正弦公式化简可得l=1+2sin（B+$\frac{π}{6}$），从而转化成三角函数求值域问题．

解答解：（1）∵$\overrightarrow{p}$•$\overrightarrow{q}$=2b，∴$\frac{asin2C}{sin（A+B）}+c=2b$，
即2acosC+c=2b，∴cosC=$\frac{2b-c}{2a}$，
又∵cos=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$，∴2b²-bc=a²+b²-c²，
即b²+c²-a²=bc，
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{2}$．
∴A=$\frac{π}{3}$．
（2）由正弦定理得：b=$\frac{asinB}{sinA}$=$\frac{2sinB}{\sqrt{3}}$，c=$\frac{2sinC}{\sqrt{3}}$，
∴l=a+b+c=1+$\frac{2}{\sqrt{3}}$（sinB+sinC）
=1+$\frac{2}{\sqrt{3}}$（sinB+sin（$\frac{π}{3}$+B））
=1+2（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinB+$\frac{1}{2}$cosB）
=1+2sin（B+$\frac{π}{6}$），
∵A=$\frac{π}{3}$，∴0＜B＜$\frac{2π}{3}$，
∴$\frac{π}{6}$＜B+$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$，
∴1＜2sin（B+$\frac{π}{6}$）≤2，∴2＜l≤3，
∴△ABC的周长l的取值范围为（2，3]．

点评本题考查了正弦定理、余弦定理、两角和与差的正弦公式、考查了基本运算能力．