炎德英才大联考 湖南师大附中2023届高三月考试卷(七)7数学考试试题及答案

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炎德英才大联考 湖南师大附中2023届高三月考试卷(七)7数学考试试卷答案

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12．已知{$\overrightarrow{i}$，$\overrightarrow{j}$，$\overrightarrow{k}$}为空间的单位正交基底，且$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{i}$+$\overrightarrow{j}$-2$\overrightarrow{k}$，$\overrightarrow{b}$=3$\overrightarrow{i}$+2$\overrightarrow{j}$+$\overrightarrow{k}$，若m$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$与2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$互相垂直，则实数m的值为（　　）

分析以MNP为底面，Q为顶点，则：四面体MNPQ的体积V=$\frac{1}{3}$hS，其中：h是Q点到底面的距离，是定值，h=a，于是，要使得V最大，等价于使得底面△MNP的面积S最大．

解答解：以MNP为底面，Q为顶点，则：四面体MNPQ的体积V=$\frac{1}{3}$hS
其中：h是Q点到底面的距离，是定值，h=a，
于是，要使得V最大，等价于使得底面△MNP的面积S最大．
设A₁M=x，A₁N=y，B₁P=z，（0≤x，y，z≤a）则：
S=S_正方形-${S}_{△{A}_{1}MN}$-${S}_{△{B}_{1}NP}$-${S}_{梯形{C}_{1}{D}_{1}MP}$
=a²-$\frac{1}{2}$xy-$\frac{1}{2}$（a-y）z-$\frac{1}{2}$a（a-x+a-z）
=a²-$\frac{1}{2}$xy-$\frac{1}{2}$（a-y）z-a²+$\frac{1}{2}$a（x+z）
=$\frac{1}{2}$（ax-xy+yz）
≤$\frac{1}{2}$[x（a-y）+ya]
≤$\frac{1}{2}$[a（a-y）+ya]
=$\frac{1}{2}$a²
即：S的最大值=$\frac{1}{2}$a²（此时，x=z=a，b可随意）
故：四面体MNPQ的体积V的最大值=$\frac{1}{3}$aS=$\frac{1}{6}$a³，
故答案为：$\frac{1}{6}$a³．

点评本题考查四面体MNPQ的体积V的最大值，考查学生分析解决问题的能力，要使得V最大，等价于使得底面△MNP的面积S最大是关键．