南昌十中2023届高三一模模拟考试数学考试试题及答案

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南昌十中2023届高三一模模拟考试数学考试试卷答案

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20．设空间两个单位向量$\overrightarrow{OA}$=（m，n，0），$\overrightarrow{OB}$=（0，n，p）与向量$\overrightarrow{OC}$=（1，1，1）的夹角都等于$\frac{π}{4}$，求cos∠AOB的值．

分析（1）先求函数的导函数y′，再解不等式y′＞0和y′＜0得函数的单调区间，进而由极值的定义求得函数的极值，解得cosA的值，结合A的范围，即可得解．
（2）由已知利用三角形面积公式及余弦定理即可得解．

解答解：（1）∵f（x）′=$\frac{3}{4}$x²-$\frac{3}{4}$=$\frac{3}{4}$（x+1）（x-1）．
∴函数f（x）=$\frac{1}{4}{x^3}-\frac{3}{4}$x在（-∞，-1）是增函数，在（-1，1）上是减函数，在（1，+∞）是增函数
∴函数f（x）=$\frac{1}{4}{x^3}-\frac{3}{4}$x在x=-1时取得极大值$\frac{1}{2}$，
∴可求：$cosA=\frac{1}{2}$，A∈（0，π），
∴$A=\frac{π}{3}$；
（2）∵a=2，$A=\frac{π}{3}$，
∴由三角形面积公式及余弦定理可得：$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}bcsin\frac{π}{3}=\sqrt{3}\\4={b^2}+{c^2}-bc\end{array}\right.$，
∴解得b=c=2．

点评本题考察了导数在函数极值中的应用，函数极值的意义及求法，考查了余弦定理，三角形面积公式，特殊角的三角函数值的应用，属于中档题．